Критерий Колмогорова – Смирнова

Назначение критерия. Критерий λ предназначен для сопоставления двух распределений: а). эмпирического с теоретическим, например, равномерным или нормальным; б). одного эмпирического распределения с другим эмпирическим распределением.

Ограничения критерия. Критерий требует, чтобы выборка была достаточно большой, , ≥50.

Гипотезы:

: различия между двумя распределениями незначимы.

: различия между двумя распределениями значимы.

Алгоритм подсчета λ – критерия.

Составляем таблицу для удобства расчетов:

1. В первом столбце располагают эмпирические значения признака, упорядоченные по возрастанию.

2. Во втором столбце располагают эмпирические частоты для каждого значения, а в третьем столбце относительные эмпирические частоты для каждого значения, рассчитанные по формуле: f*эмп j = fэмп j / n, где fэмп j – эмпирическая частота из второго столбца, n – объем выборки.

3. Подсчитываем «накопленные» эмпирические частоты по формуле:

∑ f*эмп j = ∑ f*эмп j-1+ f*эмп j ,

где ∑ f*эмп j-1 – частота, накопленная на предыдущих значениях признака;

j – порядковый номер значения признака; f*эмп j – эмпирическая частота данного j разряда. Результаты помещают в 4 столбец.

4. В 5 столбце располагают накопленные теоретические частоты, если сравнивают с известным теоретическим распределением; если сравнивают 2 эмпирических распределения, то в 5 столбце располагают накопленные эмпирические частоты для выборки 2.

5. Подсчитывают разности между накопленными частотами и их абсолютные значения помещают в 6 столбец. Обозначим их dj.

6. Определяют по 6 столбцу максимальное значение dj → dmax.

7. Подсчитывают λэмп по формуле:

,

где n1 – объем выборки 1, n2 - объем выборки 2, если = = n, то .

8. По заданному уровню значимости из таблицы VII приложения находят граничную точку λкр.

9. Если λэмп < λкр, то различия между распределениями признака незначимы; если λэмп > λкр, то различия между распределениями признака значимы.

Пример. В продовольственном магазине проведены контрольные взвешивания проданной колбасы. Объем выборки n = 100. Полученные данные указаны в таблице.

недовес, г
частота

Определить с помощью λ – критерия Колмогорова-Смирнова на уровне значимости α=0,05, согласуются ли данные выборки с равномерным распределением на отрезке [0,10].

Решение. : различия между эмпирическим и предполагаемым теоретическим распределением незначимы.

: различия между эмпирическим и предполагаемым теоретическим распределением значимы.

Функция распределения случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [0,10] имеет следующий вид:

Заполним таблицу:

xj fэмп j fэмп j/n ∑ f*эмп j ∑ f*теор j dj
0,10 0,10 0,1
0,11 0,21 0,2 0,01
0,08 0,29 0,3 0,01
0,09 0,38 0,4 0,02
0,12 0,50 0,5
0,10 0,60 0,6
0,13 0,73 0,7 0,03
0,15 0,88 0,8 0,08
0,12 1,00 0,9 0,1

Поясним, как заполняется таблица. Значения первых двух столбцов взяты из условия. Каждое число второго столбца делим на n = 100 и результат записываем в 3 столбец. Каждое число 4 столбца равно сумме числа из этой же строки 3 столбца и предыдущего числа 4 столбца. Каждое число 1 столбца подставляем в формулу f*теор = xj /10 и результат записываем в 5 столбец. 6 столбец – модуль разности 4 и 5 столбцов. Наибольшее число в 6 столбце dmax =0,1; λэмп =0,1 = 1.

По уровню значимости α = 0,05 из таблицы VI приложениия находим граничную точку λкр = 1,358. Поскольку λэмп < λкр (1 < 1,358), то принимаем гипотезу на уровне значимости α = 0,05. Данные выборки согласуются с равномерным распределением на отрезке [0,10].


5326418338739106.html
5326507172035460.html
    PR.RU™